Fırını 350°F (175°C) dereceye ayarlayın. Tatlı patatesleri erimiş 1 yemek kaşığı tereyağı ile yağlayın ve her birini 1/4 çay kaşığı tuz ve karabiber serperek folyoya sarın. Kenarları kıvrılmış 10x15 inçlik bir fırın tepsisine yerleştirin.

Patatesleri, haşlanmış olana kadar ön ısıtılmış fırında pişirin, yaklaşık 1 saat.

Tatlı patatesleri tamamen soğumaya bırakın, yaklaşık 1 saat. (Alternatif olarak, soğutulmuş tatlı patatesler kullanmadan önce oda sıcaklığında 30 dakika bekletilebilir.)

Bu arada, orta büyüklükte bir sos tavasında sebze suyu, pirinç, sarımsak ve 1/4 çay kaşığı tuzu karıştırın. Orta-yüksek ateşte kaynamaya getirin, ardından ateşi kısın. Pirinç yumuşayıncaya kadar üzeri kapatılıp pişirin, yaklaşık 40 ila 45 dakika; fazla suyu süzün.

Büyük bir tavada 1/4 su bardağı tereyağını orta ateşte eritin. Mantarları ve soğanı ekleyin; ara sıra karıştırarak sıvı buharlaşana kadar ve mantarlar ile soğanlar haşlanmış olana kadar pişirin, yaklaşık 10 ila 12 dakika. Şerry ekleyin ve buharlaşana kadar pişirin, yaklaşık 2 dakika. Tarhun otunu, kalan tuz ve karabiberi, pirinç karışımını ve keçi peynirini ekleyerek karıştırın. Tamamen soğumaya bırakın.

Börek hamurunu 6.5 inç kareye açın ve her karenin merkezine doldurma malzemelerini yerleştirin (her porsiyon için yaklaşık 1/3 su bardağı). Üzerine bir tatlı patates koyun.

Yumurtayı ve suyu çırpın, börek karelerinin kenarlarını fırça ile sürün ve köşeleri patateslerin üzerine katlayın. Börek paketlerini dikiş tarafı aşağı gelecek şekilde fırın tepsisine dizin. Kalan hamuru ile süsleyin ve yumurta yıkaması yapın.