Remplissez une grande casserole d'eau et placez un cuiseur sous vide dans l'eau. Réglez la température à 140°F (60°C), selon les instructions du fabricant.

Aplatissez les poitrines de poulet avec un maillet à viande jusqu'à obtenir une épaisseur uniforme de 3/4 à 1 pouce. Assaisonnez des deux côtés avec de l'épice Cajun. Placez le poulet dans des sacs à vide et scellez-les en utilisant une machine à vide.

Plongez les sacs dans l'eau préchauffée, en vous assurant qu'ils sont complètement immergés ; réglez le minuteur pour 1 heure. Lorsque le minuteur sonne, retirez le poulet de l'eau et placez-le immédiatement dans un bain de glace pendant 5 minutes. Retirez le poulet des sacs et séchez-le complètement avec des serviettes en papier.

Faites chauffer le beurre et l'huile d'avocat dans une grande poêle à feu vif jusqu'à ce qu'il commence à fumer. Faites saisir le poulet dans le mélange de beurre et d'huile pendant 30 à 45 secondes par côté, en déplaçant le poulet dans la poêle pour que tous les côtés soient bien dorés. Retirez-le sur une assiette et couvrez-le de papier aluminium pour garder au chaud.

Préparez la sauce : faites fondre le beurre dans la même poêle à feu moyen. Ajoutez l'ail et faites-le sauter dans le beurre chaud jusqu'à ce qu'il soit parfumé, 15 à 30 secondes.

Incorporez le bouillon de poulet et portez à ébullition. Faites cuire jusqu'à ce que le liquide soit légèrement réduit, 3 à 4 minutes.

Incorporez la crème épaisse et le poivre noir ; portez à légère ébullition. Continuez à cuire, en remuant continuellement, jusqu'à ce que la sauce ait épaissi.

Ajoutez le fromage Parmesan, 1 cuillère à soupe à la fois, jusqu'à ce qu'il soit fondu et incorporé. Saupoudrez de thym. Goûtez la sauce et ajustez le sel si nécessaire.