Смешайте кетчуп, майонез, маринованный реллиш, уксус, белый сахар и чеснок в небольшой миске. Приправьте по вкусу солью и черным перцем. Накройте и отложите в сторону.

Разделите говяжий фарш на 4 равные части. Скатайте каждую часть в шарик; поставьте их в холодильник до использования. Намажьте разрезанные стороны каждой булочки для гамбургера сливочным маслом.

Нагрейте большую чугунную или антипригарную сковороду на среднем огне. (Можно добавить немного растительного масла, если беспокоитесь о прилипании.)

Добавьте два мясных шарика в сковороду. Раздавите мясо плоско, используя дно маленькой кастрюльки или лопатку. Удерживайте на месте, пока не образуется корочка, около 1 минуты. Приправьте солью и перцем. Готовьте до тех пор, пока не сформируется хорошая корочка, затем переверните.

Когда нижняя сторона выглядит почти готовой, покройте ломтиком сыра. Переместите котлеты в сторону и положите булочки, смазанной маслом стороной вниз, на сковороде до подрумянивания. Продолжайте готовить бургеры, пока сыр не расплавится, а мясо больше не будет розовым внутри, примерно 5 минут. Мгновенный термометр, вставленный в центр, должен показывать не менее 160°F (70°C).