Préchauffez le four à 350°F (175°C). Arrosez les patates douces de 1 cuillère à soupe de beurre fondu et saupoudrez de 1/4 de cuillère à café de sel et de poivre. Enveloppez chaque patate dans du papier aluminium et placez-les sur une plaque à rebords de 10x15 pouces.

Faites cuire les patates douces au four préchauffé jusqu'à ce qu'elles soient tendres, environ 1 heure.

Laissez refroidir complètement les patates douces, environ 1 heure. (Alternativement, les patates douces réfrigérées peuvent rester à température ambiante pendant 30 minutes avant utilisation.)

Pendant ce temps, combinez le bouillon, le riz, l'ail et 1/4 de cuillère à café de sel dans une casserole moyenne. Portez à ébullition à feu moyen-élevé, puis réduisez le feu à doux. Laissez mijoter couvert jusqu'à ce que le riz soit tendre, environ 40 à 45 minutes ; égouttez l'eau excédentaire.

Faites fondre 1/4 de tasse de beurre dans une grande poêle à feu moyen. Ajoutez les champignons et l'oignon ; faites cuire, en remuant de temps en temps, jusqu'à ce que le liquide s'évapore et que les champignons et l'oignon soient tendres, environ 10 à 12 minutes. Ajoutez le xérès et faites cuire jusqu'à évaporation, environ 2 minutes. Incorporez l'estragon, le reste de sel et de poivre, le mélange de riz et le fromage de chèvre jusqu'à homogénéité. Laissez refroidir complètement.

Étalez les feuilles de pâte feuilletée en carrés de 16,5 cm et garnissez le centre de chaque carré avec la garniture (environ 1/3 de tasse par portion). Placez une patate douce sur chaque carré.

Battez ensemble l’œuf et l’eau, badigeonnez les bords des carrés de pâte, et repliez les coins autour des patates pour sceller. Disposez les paquets de pâte côté couture vers le bas sur une plaque de cuisson. Décorez avec la pâte restante et badigeonnez avec le mélange d'œuf.