Chauffez 1 cuillère à soupe d'huile d'olive et le beurre dans une poêle à feu moyen-doux. Ajoutez les champignons shiitake, l'échalote, le sel, la sauge et les flocons de piment rouge. Faites cuire en remuant jusqu'à ce que l'échalote soit translucide, environ 5 minutes. Incorporez la dinde et le vermout; remuez jusqu'à ce que le tout soit bien chaud, 1 à 2 minutes. Retirez la poêle du feu.

Battez les œufs avec une fourchette dans un bol jusqu'à consistance homogène; assaisonnez avec une pincée de sel et de poivre blanc.

Chauffez 2 cuillères à café d'huile d'olive dans une poêle à omelette à feu moyen jusqu'à ce qu'elle soit chaude. Versez les œufs battus dans la poêle. Utilisez une spatule pour remuer doucement les œufs juste jusqu'à ce qu'ils commencent à prendre, 1 à 2 minutes; secouez la poêle pour recouvrir complètement le fond d'œuf. Lissez le dessus des œufs partiellement pris avec la spatule; faites cuire jusqu'à ce que le dessous soit ferme et que le dessus soit encore légèrement mou, puis éteignez le feu.