Mélanger le beurre, le dill, le zeste de citron, le poivre de Cayenne, le sel et le poivre noir dans un bol jusqu'à ce que le tout soit bien combiné. Mettre de côté.

Remplir une grande casserole de 5 à 8 cm d'eau et porter à ébullition à feu vif. Réduire le feu à moyen-doux, ajouter le vinaigre et une pincée de sel. Casser un œuf dans un bol puis le glisser doucement dans l'eau. Répéter avec les œufs restants. Pocher les œufs jusqu'à ce que les blancs soient fermes et que les jaunes aient épaissi mais ne soient pas durs, 4 à 6 minutes. Retirer les œufs de l'eau avec une écumoire, tamponner sur un torchon de cuisine pour enlever l'excès d'eau, puis transférer sur une assiette chaude.