Versez le lait dans le bol d'un robot culinaire. Saupoudrez la levure par-dessus, puis ajoutez 1 ⅓ tasses de farine et mélangez avec une cuillère en bois. Laissez reposer jusqu'à ce que cela mousse, environ 20 minutes.

Ajoutez la farine, le beurre ramolli, le sucre en poudre, l'œuf, la cardamome et le sel; pétrissez avec un crochet pétrisseur (ou à la main) jusqu'à obtenir une pâte douce, lisse et élastique, environ 5 à 6 minutes.

Transférez la pâte sur une surface légèrement farinée et façonnez-la en boule. Divisez-la en 12 portions égales. À l'aide de farine si nécessaire, roulez la pâte sous une main en coupe pour former des boules parfaitement lisses.

Placez les boules de pâte uniformément sur une plaque à biscuits recouverte de papier sulfurisé, en laissant de l'espace entre elles, et appuyez légèrement dessus. Saupoudrez le dessus de farine, et couvrez d'un torchon de cuisine propre. Laissez lever dans un endroit chaud jusqu'à ce qu'elles doublent de volume, environ 2 heures.

Préchauffez le four à 425 degrés F (220 degrés C).

Mélangez ensemble l'œuf et l'eau dans un petit bol et badigeonnez les petits pains partout avec cette dorure à l'œuf.

Faites cuire au four préchauffé jusqu'à ce qu'ils soient légèrement dorés, environ 12 minutes. Transférez les petits pains sur une grille et laissez refroidir complètement.

Combinez la pâte d'amande, le sucre en poudre, le lait et la cardamome dans un robot culinaire et mixez jusqu'à obtenir une garniture d'amande lisse.