Faites chauffer le beurre dans une grande marmite à feu moyen. Faites cuire et remuez l'oignon, le céleri, la carotte et l'ail dans le beurre chaud jusqu'à ce que l'oignon soit translucide.

Incorporez les pommes de terre, le bouillon de poulet, le persil, le thym et le poivre de Cayenne ; portez à ébullition. Couvrez, baissez le feu et laissez mijoter jusqu'à ce que les pommes de terre soient tendres, environ 15 minutes.

Mélangez ensemble la farine et l'œuf dans un bol en utilisant une fourchette jusqu'à ce que le mélange ressemble à des grains de riz.

Ajoutez le lait et le jambon dans la marmite ; portez à frémissement. Saupoudrez lentement le mélange farine-œuf dans la soupe, en remuant constamment pour éviter les grumeaux.

Laissez mijoter pendant 10 minutes, en remuant de temps en temps.

Incorporez le brocoli et le fromage cheddar ; faites cuire jusqu'à ce que le brocoli soit tendre et que le fromage soit fondu, environ 5 minutes.