Préchauffez le four à 350 degrés Fahrenheit (175 degrés Celsius).

Mélanger le mélange margarita, le jus de citron, le jus de lime et la poudre d'ail dans un grand bol.

Chauffer l'huile végétale dans une grande poêle à feu moyen. Faire cuire et remuer le poulet dans l'huile chaude jusqu'à ce qu'il ne soit plus rose au centre et que les jus soient clairs, de 5 à 7 minutes. Égoutter l'excès d'huile du poulet.

Verser le mélange margarita dans la poêle avec le poulet; laisser mijoter jusqu'à ce que la majeure partie du mélange margarita soit évaporée, de 15 à 20 minutes. Transférer et égoutter le poulet sur une assiette recouverte de papier absorbant.

Superposer 4 tortillas avec le poulet, le fromage cheddar et le fromage Monterey Jack; couvrir avec les 4 tortillas restantes. Placer les quesadillas préparées, une ou deux à la fois, sur une grande plaque de cuisson.