Mélangez le chou, la carotte, l'oignon vert, le sel, le poivre et le poivre de Cayenne avec vos mains dans un bol jusqu'à ce que ce soit mou, environ 30 secondes. Mélangez les œufs avec une fourchette jusqu'à ce qu'ils soient bien incorporés.

Faites fondre 2 cuillères à soupe de beurre dans une poêle antiadhésive à feu moyen. Ajoutez les tranches de pain et retournez-les plusieurs fois pour vous assurer que les deux côtés sont enrobés de beurre. Faites griller le pain jusqu'à ce qu'il soit magnifiquement doré, croustillant et légèrement grillé des deux côtés. Transférez sur une assiette.

Faites fondre la cuillère à soupe de beurre restante dans la même poêle à feu moyen. Ajoutez le mélange de chou ; faites cuire tout en mélangeant simultanément en utilisant le bord d'une spatule pour découper la surface tout en poussant les bords vers le haut. Formez le mélange en rectangle et divisez-le en deux galettes carrées; faites cuire jusqu'à ce qu'elles soient dorées, environ 1,5 à 2 minutes par côté.

Empilez les galettes l'une sur l'autre sur une tranche de pain grillé et saupoudrez de sucre.

Placez les tranches de jambon dans la poêle chaude ; faites cuire à feu moyen jusqu'à ce qu'elles soient sifflantes, environ 1 à 2 minutes. Retournez-les et ajoutez une tranche de cheddar; faites cuire jusqu'à ce qu'il soit fondu.