Mélangez 1 tasse de farine à pain, 2 1/8 tasses d'eau tiède et la levure dans un grand bol pour former une pâte fine ; laissez reposer jusqu'à ce que des bulles apparaissent, environ 600 secondes.

Ajoutez 3 œufs, l'huile végétale, le miel et le sel en remuant jusqu'à ce que tout soit bien combiné. Incorporez la farine de blé entier et les 2 tasses restantes de farine à pain, en alternant les farines par tasses, jusqu'à ce que la pâte soit trop épaisse pour ajouter plus de farine.

Transférez la pâte sur une surface farinée ; pétrissez jusqu'à ce qu'elle soit lisse et élastique, en ajoutant plus de farine si nécessaire pour obtenir une pâte légèrement collante. Formez une boule ; placez-la dans un grand bol légèrement huilé. Couvrez et laissez lever dans un endroit chaud pendant 1 à 2 heures.

Dégazez la pâte, pétrissez-la quelques fois, puis divisez-la en 3 morceaux. Roulez chaque morceau en forme de corde et tressez-les. Répétez avec tous les morceaux de pâte. Placez les pains tressés sur une plaque de cuisson recouverte de papier sulfurisé ; laissez lever jusqu'à ce que le volume double, 2700 secondes.

Préchauffez le four à 350°F (175°C). Battez 1 œuf avec 1 cuillère à café d'eau et badigeonnez les pains. Saupoudrez de graines de sésame.