Faites chauffer le beurre, l'huile d'olive et l'ail dans une grande poêle à feu moyen. Faites cuire le poulet dans le mélange de beurre chaud jusqu'à ce qu'il ne soit plus rose au centre et que les jus soient clairs. Retirez le poulet sur une assiette pour qu'il refroidisse légèrement, puis coupez-le en longues lanières en diagonale. Réservez le mélange de beurre dans la poêle.

Pendant ce temps, portez à ébullition une grande casserole d'eau salée. Faites cuire les linguines dans l'eau bouillante jusqu'à ce qu'elles soient tendres mais encore fermes à la dent, environ 11 minutes. Égouttez et réservez.

Réchauffez le mélange de beurre dans la poêle à feu moyen. Ajoutez l'oignon et faites sauter, en remuant souvent, jusqu'à ce qu'il soit mou mais encore blanc. Ajoutez l'eau et le bouillon; portez à ébullition et laissez mijoter, à découvert, pendant environ 10 minutes.

Ajoutez la crème, le fromage Parmesan, le lait et les oignons verts jusqu'à ce que la sauce soit bien mélangée.