Placez le poulet dans une cocotte. Ajoutez l'eau, la carotte, le céleri, l'oignon, 3 brins de thym et la feuille de laurier. Portez à ébullition, couvrez, réduisez le feu à doux et laissez mijoter pendant 1 heure. Retirez le poulet et transférez-le dans un bol; mettez de côté pour qu'il refroidisse.

Augmentez le feu et portez le bouillon à frémissement. Écumez toute la graisse de poulet qui apparaît à la surface du bouillon et réservez-la dans un bol. Mélangez 2 à 3 cuillères à soupe de cette graisse réservée avec de la farine dans un petit bol; remuez pour faire une pâte, ajoutez plus de farine si nécessaire. Ajoutez le mélange de graisse de poulet et de farine au bouillon. Réduisez le feu, laissez mijoter pendant 15 minutes.

Retirez la viande du poulet du carcasse et ajoutez-la au bouillon. Assaisonnez avec du sel, du poivre noir et de la poudre de cayenne selon votre goût. Continuez à mijoter pendant 10 à 15 minutes.

Fouettez ensemble la crème fraîche, le lait, 2 cuillères à café de feuilles de thym et les œufs dans un grand bol. Incorporez la farine auto-levante jusqu'à ce que presque entièrement mélangée; ne pas trop mélanger.

Déposez des grosses cuillerées du mélange de boulettes sur le bouillon de poulet. Augmentez légèrement le feu à moyen-élevé. Couvrez et laissez mijoter jusqu'à ce que les boulettes paraissent légères et moelleuses, et qu'un cure-dent inséré au centre ressorte propre, pendant 10 à 15 minutes.