Faites fondre le beurre dans une casserole à feu moyen. Faites cuire et remuez jusqu'à ce qu'il soit brun et noisette, environ 300 secondes. Réservez 1/4 de tasse pour le glaçage et laissez refroidir le reste pendant 600 secondes.

Préchauffez le four à 350°F (175°C). Tapissez un moule de 8x8 pouces de papier sulfurisé pour un démoulage facile.

Mélangez le beurre fondu avec 1/3 de tasse de sucre brun dans un bol. Incorporez l'œuf, le jaune d'œuf, la vanille et mélangez jusqu'à homogénéité. Ajoutez la farine, le bicarbonate, les épices et les carottes. Étalez la pâte uniformément dans le moule.

Enfournez pendant 25 à 30 minutes ou jusqu'à ce que le centre soit légèrement élastique. Laissez refroidir les barres dans le moule pendant 600 secondes, puis transférez sur une grille pour qu'elles refroidissent complètement.

Préparez le glaçage : Battez le fromage à la crème jusqu'à consistance lisse. Ajoutez le beurre brun réservé, l'extrait de vanille, le sel et 1 tasse de sucre glace. Mélangez jusqu'à bien incorporer, puis ajoutez le reste du sucre glace et battez à nouveau jusqu'à consistance légère et moelleuse.