Legen Sie ein randloses Backblech mit Frischhaltefolie aus.

Milch und Salz in einem Topf bei mittlerer bis hoher Hitze mischen; fast zum Kochen bringen. Fügen Sie allmählich den Grieß ein, während Sie rühren, bis die Mischung eindickt, etwa 20 Sekunden. Reduzieren Sie die Hitze auf mittlere bis niedrige Stufe und rühren Sie weiter mit einem Holzlöffel, bis sie sehr dick ist, 7 bis 10 Minuten.

Vom Herd nehmen. 1 Tasse Parmigiano-Reggiano Käse, Eigelb und kalte Butter hinzufügen; schnell umrühren, damit die Eigelb nicht gerinnen.

Die Mischung in das vorbereitete Blech geben und gleichmäßig verteilen. Mit einem weiteren Stück Frischhaltefolie abdecken. Im Kühlschrank fest werden lassen, etwa 30 Minuten.

Den Ofen auf 425°F (220°C) vorheizen. Eine runde, flache Auflaufform einfetten.

Schneiden Sie Kreise aus dem Grießteig mit einem 2 3/4 Zoll Durchmesser großen Keksausstecher. Verwenden Sie feuchte Hände, um Teigreste zu sammeln und zu glätten. Drücken Sie die Reste zwischen Frischhaltefolie und schneiden Sie so viele weitere Kreise wie möglich aus.

Legen Sie die Gnocchi in einer kreisförmigen, überlappenden Anordnung in die vorbereitete Auflaufform. Geben Sie die geschmolzene Butter darüber und verteilen Sie sie gleichmäßig mit einem Pinsel. Bestreuen Sie mit Cayennepfeffer und bedecken Sie mit dem restlichen Parmigiano-Reggiano Käse.