Die Butter in die Rührschüssel eines Standmixers geben. Das heiße Milch über die Butter gießen; gelegentlich umrühren, bis die Butter schmilzt. Kürbispüree, 3/4 Tasse weißen Zucker, Eier und Eigelb in die Milchmischung einrühren.

In einer separaten Schüssel Mehl, Hefe, Salz, Ingwer, Zimt und Lebkuchengewürz vermischen. Mit dem Paddelaufsatz etwa 4 Tassen der Mehlmischung bei niedriger Geschwindigkeit unterrühren. Die Seiten der Schüssel und unterhalb des Paddels abschaben. Das restliche Mehl hinzufügen und mischen, bis alles vollständig vermischt ist. Der Teig wird feucht sein.

Den Teig in eine gefettete Schüssel umfüllen. Mit Plastikfolie abdecken und mindestens 5 Stunden oder über Nacht im Kühlschrank ruhen lassen.

Kombinieren Sie die Cranberry-Sauce mit 1/3 Tasse Wasser in einem kleinen Topf. Zerbrechen Sie die Sauce leicht mit einem Löffel. Bei mittlerer bis niedriger Hitze unter gelegentlichem Rühren erhitzen, bis die Sauce schmilzt. In eine Schüssel gießen und kühlen.

Den gekühlten Teig auf einer bemehlten Fläche zu einer Kugel formen und halbieren. Halten Sie die Hälfte des Teigs im Kühlschrank. Den restlichen Teig auf 1/4 Zoll Dicke ausrollen. Mit einem 3-Zoll-Ausstecher Kreise ausstechen.

Erhitzen Sie das Öl auf 375°F (190°C) in einer Fritteuse oder einem Topf. Legen Sie ein Backblech mit einer Antihaftfolie aus. Arrangieren Sie die Teigkreise paarweise auf dem Blech.

Eiweiß mit Wasser verquirlen. Bestreichen Sie die unteren Hälften der Donut-Paare mit der Mischung. Cranberry-Gelee in die Mitte löffeln und mit der oberen Hälfte bedecken, die Ränder andrücken, um sie zu versiegeln.