Растопите масло с оливковым маслом в большой кастрюле на среднем огне. Добавьте красный лук и сладкий лук. Посыпьте кошерной солью и сахаром. Готовьте, периодически помешивая, пока лук не станет очень мягким и карамелизованным, около 45 минут.

Влейте грибной бульон, херес, соус Вустершир, петрушку, прованские травы и лавровые листья в карамелизованную луковую смесь. Доведите до кипения и готовьте на среднем или низком огне в течение 45-60 минут.

Уменьшите огонь до минимума и удалите лавровые листья. Добавьте бальзамический уксус в суп. Перемешайте и при необходимости скорректируйте приправы.

Поместите кусочек корки пармезана в центр кастрюли. Погрузите его, но не перемешивайте. Готовьте суп еще 20 минут.

Установите решетку духовки на расстоянии примерно 6 дюймов от источника тепла и разогрейте гриль. Разложите ломтики багета на противне.

Поджарьте ломтики багета под грилем в течение 2-3 минут с каждой стороны. Уберите и отложите в сторону.

Аккуратно выньте корку пармезана и выбросьте ее. Разделите суп поровну по 4 жаропрочным мискам. Слегка посыпьте тертыми сырами Грюйер и пармезан. На каждую положите по 2 ломтика багета и снова посыпьте оставшимся сыром.