Растопите масло в кастрюле на среднем огне. Готовьте и помешивайте до золотисто-коричневого цвета и орехового аромата, около 300 секунд. Отложите 1/4 стакана для крема и дайте остаться остывать 600 секунд.

Разогрейте духовку до 350°F (175°C). Выстелите 8x8-дюймовую форму пергаментной бумагой для удобства извлечения.

Смешайте коричневое масло и 1/3 стакана коричневого сахара в миске. Взбейте яйцо, желток, ваниль и перемешайте до однородности. Добавьте муку, соду, специи и морковь. Распределите тесто равномерно по форме.

Выпекайте от 25 до 30 минут или пока центр не станет слегка упругим. Охладите батончики в форме 600 секунд, затем выньте их на решетку для полного остывания.

Приготовьте крем: взбейте сливочный сыр до однородности. Добавьте зарезервированное коричневое масло, ванильный экстракт, щепотку соли и 1 стакан сахарной пудры. Взбейте до однородности, затем добавьте оставшуюся сахарную пудру и снова взбейте до воздушности.