Placez l'huile de tournesol dans une friteuse profonde et chauffez à 350°F (175°C). Coupez les courgettes en tranches de 1/8 de pouce.

Ajoutez quelques courgettes dans l'huile chaude et faites frire jusqu'à ce qu'elles soient légèrement dorées, pendant 4 à 5 minutes. Transférez sur du papier absorbant pour égoutter et répétez avec les courgettes restantes. Laissez refroidir à température ambiante.

Transférez les courgettes refroidies dans un bol. Couvrez et réfrigérez pendant 8 heures ou toute la nuit.

Portez à ébullition une grande casserole d'eau légèrement salée. Faites cuire les spaghettis jusqu'à ce qu'ils soient presque tendres mais encore fermes lorsqu'on les mord, environ 9 à 10 minutes.

Pendant que vous cuisinez les spaghettis, chauffez l'huile d'olive dans une poêle à feu moyen. Ajoutez les courgettes et le sel, en cuisant jusqu'à ce qu'elles commencent à libérer leur jus, à ramollir et à se décomposer, environ 3 à 5 minutes. Ajoutez de l'eau de cuisson des pâtes avec parcimonie et cassez les courgettes en petits morceaux.

Réduisez le feu de la poêle à doux et incorporez le basilic et le beurre jusqu'à ce qu'il soit fondu.

Transférez les spaghettis cuits dans la sauce aux courgettes. Mélangez le Pecorino Romano et le Parmigiano-Reggiano, en ajoutant plus d'eau de cuisson des pâtes si nécessaire. Ajustez le sel selon votre goût.