Panaskan oven hingga 350 derajat F (175 derajat C).

Aduk campuran margarita, jus lemon, jus jeruk nipis, dan bubuk bawang putih bersama-sama dalam mangkuk besar.

Panaskan minyak sayur dalam wajan besar di atas api sedang. Masak dan aduk ayam dalam minyak panas sampai tidak lagi berwarna merah muda di tengah dan jusnya bening, 5 hingga 7 menit. Tiriskan minyak berlebih dari ayam.

Tuangkan campuran margarita ke dalam wajan dengan ayam; didihkan hingga sebagian besar campuran margarita menguap, 15 hingga 20 menit. Pindahkan dan tiriskan ayam ke piring yang dilapisi tisu kertas.

Lapisi 4 tortilla dengan ayam, keju Cheddar, dan keju Monterey Jack; tutup dengan 4 tortilla lainnya. Tempatkan quesadillas yang sudah disiapkan, 1 atau 2 sekaligus, di atas loyang besar.