Campur kubis, wortel, daun bawang, garam, merica, dan cabai rawit dengan tangan di dalam mangkuk hingga lembut, sekitar 30 detik. Campur telur dengan garpu hingga tercampur rata.

Lelehkan 2 sendok makan mentega dalam wajan antilengket di atas api sedang. Tambahkan irisan roti dan balik beberapa kali untuk memastikan kedua sisinya dilapisi mentega. Panggang roti hingga berwarna keemasan, cokelat keemasan, dan sedikit renyah di kedua sisi. Pindahkan ke piring.

Lelehkan sisa 1 sendok makan mentega dalam wajan yang sama di atas api sedang. Tambahkan campuran kubis; masak dan aduk secara bersamaan menggunakan tepi spatula untuk memotong permukaannya sambil mendorong bagian tepi ke atas. Bentuk campuran menjadi persegi panjang dan bagi menjadi dua patty persegi; masak hingga berwarna keemasan, sekitar 1,5 hingga 2 menit per sisi.

Tumpuk patty di atas satu sama lain pada satu potongan roti panggang dan taburi dengan gula.

Masukkan irisan ham ke dalam wajan panas; masak di atas api sedang hingga mendesis, sekitar 1 hingga 2 menit. Balikkan dan tambahkan irisan keju Cheddar; masak hingga meleleh.