Panaskan minyak zaitun dalam panci. Bumbui potongan ayam dengan garam dan merica; masak dan aduk di dalam minyak panas hingga tidak lagi berwarna merah muda di bagian tengah, sekitar 7 hingga 10 menit. Angkat ayam ke mangkuk menggunakan sendok berlubang, sisakan tetesan minyak di panci.

Tuangkan kaldu ayam ke dalam panci. Didihkan kaldu sambil mengikis bagian bawah panci dengan sendok kayu untuk melonggarkan sisa-sisa yang berwarna cokelat tua; lanjutkan memasak hingga volume kaldu berkurang sekitar setengahnya, sekitar 7 hingga 10 menit. Kembalikan ayam yang sudah dimasak ke dalam panci dan aduk rata dengan campuran pesto; angkat dari api.

Didihkan panci besar berisi air asin sedikit sampai mendidih kencang. Masak gnocchi dalam air mendidih hingga mereka mengapung ke permukaan, sekitar 3 menit. Angkat gnocchi dari air ke dalam mangkuk besar menggunakan sendok berlubang, sisakan air di panci.