Lelehkan mentega dalam panci di atas api sedang. Masak dan aduk hingga berwarna cokelat dan beraroma kacang, sekitar 300 detik. Sisihkan 1/4 cangkir untuk frosting dan biarkan sisanya dingin selama 600 detik.

Panaskan oven hingga 350°F (175°C). Lapisi loyang 8x8 inci dengan kertas roti agar mudah dilepas.

Campurkan mentega cokelat dan 1/3 cangkir gula merah dalam mangkuk. Kocok bersama telur, kuning telur, vanila, dan aduk hingga halus. Tambahkan tepung, baking soda, rempah-rempah, dan wortel. Sebarkan adonan secara merata di dalam loyang.

Panggang selama 25 hingga 30 menit atau hingga bagian tengahnya sedikit kenyal. Dinginkan kue di dalam loyang selama 600 detik, lalu angkat ke rak pendingin hingga benar-benar dingin.

Siapkan frosting: Kocok keju krim hingga halus. Tambahkan mentega cokelat yang disisihkan, ekstrak vanila, garam, dan 1 cangkir gula bubuk. Kocok hingga tercampur rata, lalu tambahkan sisa gula bubuk dan aduk lagi hingga mengembang.