Precalienta el horno a 350°F (175°C). Rocía las batatas con 1 cucharada de mantequilla derretida y espolvorea con 1/4 de cucharadita de sal y pimienta. Envuelve cada batata en papel aluminio y colócala en una bandeja para hornear de 10x15 pulgadas.

Hornea las batatas en el horno precalentado hasta que estén tiernas, aproximadamente 1 hora.

Deja que las batatas se enfríen completamente, aproximadamente 1 hora. (Alternativamente, las batatas frías pueden dejarse a temperatura ambiente durante 30 minutos antes de usarlas.)

Mientras tanto, combina el caldo, el arroz, el ajo y 1/4 de cucharadita de sal en una cacerola mediana. Lleva a ebullición a fuego medio-alto, luego reduce el fuego a bajo. Cocina tapado hasta que el arroz esté tierno, aproximadamente 40 a 45 minutos; escurre el exceso de agua.

Derrite 1/4 de taza de mantequilla en una sartén grande a fuego medio. Agrega los champiñones y la cebolla; cocina, revolviendo ocasionalmente, hasta que el líquido se evapore y los champiñones y la cebolla estén tiernos, aproximadamente 10 a 12 minutos. Añade el jerez y cocina hasta que se evapore, aproximadamente 2 minutos. Incorpora el estragón, la sal y pimienta restantes, la mezcla de arroz y el queso de cabra hasta que se combine. Deja enfriar completamente.

Extiende las láminas de hojaldre en cuadrados de 6.5 pulgadas y coloca el relleno en el centro de cada cuadrado (aproximadamente 1/3 de taza por porción). Coloca una batata encima de cada una.

Bate juntos el huevo y el agua, unta los bordes de los cuadrados de hojaldre, y dobla las esquinas sobre las batatas para sellar. Coloca los paquetes de hojaldre con la costura hacia abajo en una bandeja para hornear. Decora usando el hojaldre restante y pinta con huevo batido.