Calienta 1 cucharada de aceite de oliva y la mantequilla en una sartén a fuego medio-bajo. Incorpora el champiñón shiitake, el chalote, la sal, la salvia y los copos de pimienta roja. Cocina y revuelve hasta que el chalote esté translúcido, unos 5 minutos. Mezcla el pavo y el vermú; revuelve hasta que se caliente, de 1 a 2 minutos. Retira la sartén del fuego.

Bate los huevos con un tenedor en un bol hasta que estén bien mezclados; sazona con una pizca de sal y pimienta blanca.

Calienta 2 cucharaditas de aceite de oliva en una sartén para omelet a fuego medio hasta que esté caliente. Vierte los huevos batidos en la sartén. Usa una espátula para revolver suavemente los huevos justo hasta que comiencen a cuajarse, de 1 a 2 minutos; agita la sartén para cubrir completamente el fondo con huevo. Alisa la parte superior de los huevos parcialmente cuajados con la espátula; cocina hasta que la parte inferior esté firme y la parte superior aún esté ligeramente suave, luego apaga el fuego.