Lleva a ebullición una pequeña olla con agua. Agrega las aceitunas y el apio; cocina a fuego lento hasta que el apio esté de un verde brillante, unos 30 segundos. Escurre bien.

Combina las cebollas, agua y azúcar en una cacerola a fuego medio. Cubre y cocina, revolviendo ocasionalmente, hasta que las cebollas estén suaves y caramelizadas, unos 30 minutos.

Calienta 1 cucharada de aceite de oliva en una sartén grande a fuego medio. Cocina los trozos de pollo hasta que estén dorados, unos 4 minutos por lado.

Transfiere los trozos de pollo a una cacerola grande; agrega las aceitunas, el apio, las cebollas caramelizadas, los tomates, la albahaca, el jugo de limón, las alcaparras, sal y pimienta. Cubre y cocina a fuego medio hasta que el pollo ya no esté rosado en el centro, aproximadamente 1 hora.