Precalienta el horno a 350 grados F (175 grados C).

Mezcla la mezcla de margarita, el jugo de limón, el jugo de lima y el ajo en polvo en un tazón grande.

Calienta el aceite vegetal en una sartén grande a fuego medio. Cocina y revuelve el pollo en el aceite caliente hasta que ya no esté rosado en el centro y los jugos salgan claros, de 5 a 7 minutos. Drena el exceso de aceite del pollo.

Vierte la mezcla de margarita en la sartén con el pollo; cocina a fuego lento hasta que la mayor parte de la mezcla de margarita se haya evaporado, de 15 a 20 minutos. Transfiere y escurre el pollo a un plato forrado con toallas de papel.

Coloca 4 tortillas con pollo, queso cheddar y queso Monterey Jack; cubre con las 4 tortillas restantes. Coloca las quesadillas preparadas, de una o dos a la vez, en una bandeja para hornear grande.