Calienta el aceite de sésamo en una sartén grande a fuego medio-alto. Agrega el repollo, la cebolla, la zanahoria y el ajo; cocina y revuelve hasta que el repollo esté blando, de 3 a 4 minutos. Agrega el cerdo molido y el huevo; cocina y revuelve hasta que el cerdo esté dorado y desmenuzado, de 5 a 7 minutos.

Coloca aproximadamente 1 cucharada de la mezcla de cerdo en el centro de una envoltura de wonton. Dobla la envoltura por la mitad sobre el relleno y sella los bordes con los dedos humedecidos. Repite esto para todos los gyoza.

Calienta el aceite vegetal en una sartén grande a fuego medio-alto. Cocina los gyoza en la sartén caliente hasta que estén ligeramente dorados, aproximadamente 1 minuto por lado. Agrega agua, reduce el fuego, tapa y cocina al vapor hasta que el agua se haya evaporado. Retira del fuego.