Coloque el pollo en una olla grande de 6 a 8 cuartos y vierta suficiente agua para cubrir completamente el pollo; hierva, reduzca el fuego a medio y cocine a fuego lento hasta que el pollo ya no esté rosado en el hueso y los jugos salgan claros, aproximadamente 1 hora.

Retire el pollo del agua y colóquelo sobre una superficie de trabajo para que se enfríe, conservando el caldo de pollo resultante en la olla.

Cocine y revuelva la harina de mijo y el aceite vegetal juntos en una sartén grande o sartén a fuego medio hasta que el roux esté suave y ligeramente más oscuro que la mantequilla de maní, aproximadamente 10 minutos.

Mezcle la cebolla, el pimiento verde y el ajo en el roux; cocine y revuelva a fuego lento hasta que esté fragante, de 2 a 3 minutos. Transfiera la mezcla de cebolla-roux a la olla con caldo de pollo.

Lleve la mezcla de caldo de pollo a fuego lento a fuego medio; agregue la salchicha andouille, el apio, el cebollín, las hojas de laurel, la sal, el tomillo y la pimienta de cayena y cocine a fuego lento durante 1 hora.

Retire la piel del pollo cocido y deséchela. Desprenda la carne de los huesos y córtela en trozos de bocado; deseche el esqueleto. Agregue la carne de pollo a la mezcla de caldo y cocine a fuego lento hasta que el pollo esté bien caliente, de 5 a 10 minutos.