Calienta la mantequilla, el aceite de oliva y el ajo en una sartén grande a fuego medio. Cocina el pollo en la mezcla caliente de mantequilla hasta que ya no esté rosado en el centro y los jugos salgan claros. Retira el pollo a un plato para que se enfríe ligeramente, luego córtalo en diagonal en tiras largas. Reserva la mezcla de mantequilla en la sartén.

Mientras tanto, lleva a ebullición una olla grande con agua salada. Cocina el linguine en agua hirviendo hasta que esté tierno pero firme al diente, unos 11 minutos. Escurre y reserva.

Vuelve a calentar la mezcla de mantequilla en la sartén a fuego medio. Añade la cebolla y saltea, revolviendo a menudo, hasta que esté blanda pero aún blanca. Agrega el agua y el caldo; lleva a ebullición y deja cocinar a fuego lento, destapado, durante unos 10 minutos.

Incorpora la crema, el queso parmesano, la leche y los cebollines verdes hasta que la salsa esté bien combinada.