Llena una olla grande con agua ligeramente salada y lleva a ebullición. Agrega la pasta y vuelve a hervir. Cocina la pasta sin tapar, revolviendo ocasionalmente, hasta que esté tierna pero firme al diente, aproximadamente 10 minutos, o según las instrucciones del paquete.

Mientras tanto, agrega la mantequilla y el aceite a una sartén profunda a fuego alto. Añade las cebollas y cocina y revuelve hasta que tomen un poco de color. Agrega el azúcar, sal, pimienta, vinagre y agua, y continúa cocinando a fuego alto, revolviendo constantemente, hasta que las cebollas estén muy tiernas y de color marrón oscuro, aproximadamente 15 minutos.

Baja el fuego; agrega la leche, el ajo, el tomillo y el queso parmesano rallado. Mezcla la salsa hasta que esté suave con una licuadora de inmersión.