Combine el agua y el pollo en una olla grande. Lleve a ebullición. Reduzca el fuego y cocine a fuego lento hasta que el pollo esté tierno, aproximadamente 1 hora. Usando pinzas, transfiera el pollo a un colador y déjelo enfriar, conservando el líquido de cocción. Retire la carne de los huesos en pedazos.

Caliente 2 cucharadas de aceite en una sartén pesada a fuego medio. Agregue el okra y cocine hasta que ya no esté pegajoso, revolviendo con frecuencia, durante unos 20 minutos; reserve.

Mezcle la harina y las ½ tazas restantes de aceite en una olla holandesa grande y pesada. Cocine a fuego medio hasta que esté de un dorado profundo, revolviendo con frecuencia, durante unos 6 minutos. Agregue 4 tazas del caldo de pollo reservado, el okra, la salchicha andouille, los tomates con sus jugos, el pimiento verde, el apio, el ajo, la hoja de laurel, la sal, el tomillo, la albahaca, la cayena y la pimienta. Cubra parcialmente y cocine a fuego lento hasta que espese, aproximadamente 1 ½ horas.