Sazona las hamburguesas con sal, pimienta y cayena; resérvalas.

Mezcla en un bol el caldo de res, la salsa de soja, la salsa Worcestershire, la maicena, el kétchup, el azúcar y el aceite de sésamo; resérvalo.

Derrite 1 cucharadita de mantequilla en una sartén a fuego medio-alto. Cocina las hamburguesas en la sartén caliente hasta que los fondos estén bien dorados, unos 5 minutos. Voltea las hamburguesas; añade los cebollines y cocina hasta que tanto la carne como los cebollines estén dorados, de 4 a 5 minutos. Retira las hamburguesas y la mayor parte de los cebollines a un plato.

Vierte la mezcla de caldo de res en la sartén. Revuelve, raspando los trozos dorados del fondo, hasta que espese, unos 2 minutos. Reduce el fuego a bajo y reserva la salsa hasta que se necesite.

Derrite la mantequilla restante en otra sartén a fuego medio. Añade los huevos a la sartén y fríelos uno al lado del otro hasta que las claras estén cuajadas y las yemas aún estén líquidas.

Divide el arroz entre 2 cuencos para servir. Coloca las hamburguesas sobre el arroz, vierte la salsa encima y añade los huevos fritos.