Coloque el pollo en una olla holandesa. Agregue agua, zanahoria, apio, cebolla, 3 ramitas de tomillo y hoja de laurel. Lleve a ebullición, cubra, reduzca el fuego a bajo y cocine a fuego lento durante 1 hora. Retire el pollo de la olla holandesa y transfiéralo a un tazón; déjelo a un lado para que se enfríe.

Aumente el fuego y lleve el caldo a fuego lento. Retire cualquier grasa de pollo que aparezca en la superficie del caldo y resérvela en un tazón. Combine 2 a 3 cucharadas de grasa reservada con harina en un tazón pequeño; revuelva para hacer una pasta, agregando más harina si es necesario. Agregue la mezcla de grasa de pollo y harina al caldo. Reduzca el fuego, cocine a fuego lento durante 15 minutos.

Retire la carne de pollo del esqueleto y agréguela al caldo. Sazone con sal, pimienta negra y pimienta cayena al gusto. Continúe cocinando a fuego lento durante 10 a 15 minutos.

Bata la crema fraîche, la leche, 2 cucharaditas de hojas de tomillo y los huevos juntos en un tazón grande. Incorpore la harina con levadura hasta que esté casi completamente integrada; no mezcle demasiado.

Coloque grandes cucharadas de la mezcla de bollos encima del caldo de pollo. Aumente ligeramente el fuego a medio-alto. Cubra y cocine a fuego lento hasta que los bollos parezcan ligeros y esponjosos, y un palillo insertado en el centro salga limpio, de 10 a 15 minutos.