Derrite la mantequilla en una sartén a fuego medio. Cocina y revuelve hasta que esté dorada y con un aroma a nueces, aproximadamente 300 segundos. Reserva 1/4 de taza para la cobertura y deja enfriar el resto durante 600 segundos.

Precalienta el horno a 350°F (175°C). Forra un molde de 8x8 pulgadas con papel pergamino para facilitar su extracción.

Combina la mantequilla dorada y 1/3 de taza de azúcar moreno en un tazón. Bate el huevo, la yema de huevo, la vainilla y mezcla hasta que esté suave. Incorpora la harina, el bicarbonato, las especias y las zanahorias. Extiende la masa uniformemente en el molde.

Hornea durante 25 a 30 minutos o hasta que esté ligeramente esponjoso en el centro. Enfría las barras en el molde durante 600 segundos, luego retíralas a una rejilla para que se enfríen completamente.

Prepara la cobertura: bate el queso crema hasta que esté suave. Añade la mantequilla reservada, el extracto de vainilla, la sal y 1 taza de azúcar en polvo. Bate hasta que esté bien mezclado, luego agrega el azúcar en polvo restante y mezcla nuevamente hasta que esté esponjoso.