Aqueça 1 colher de sopa de azeite e manteiga em uma frigideira em fogo médio-baixo. Misture o cogumelo shiitake, shallot, sal, sálvia e flocos de pimenta vermelha. Cozinhe e mexa até que o shallot esteja translúcido, cerca de 5 minutos. Misture o peru e o vermute; mexa até aquecer bem, de 1 a 2 minutos. Retire a frigideira do fogo.

Bata os ovos com um garfo em uma tigela até que estejam bem misturados; tempere com uma pitada de sal e pimenta branca.

Aqueça 2 colheres de chá de azeite em uma frigideira para omelete em fogo médio até ficar quente. Despeje os ovos batidos na frigideira. Use uma espátula para mexer suavemente os ovos apenas até começarem a endurecer, de 1 a 2 minutos; agite a frigideira para cobrir completamente o fundo com ovo. Alise a superfície dos ovos parcialmente firmes com a espátula; cozinhe até que o fundo esteja firme e o topo ainda esteja ligeiramente macio, depois desligue o fogo.