Encha uma panela grande com água e coloque um aparelho de cozimento sous vide na água. Ajuste a temperatura para 60°C, de acordo com as instruções do fabricante.

Bata os peitos de frango com um martelo de carne até ficarem com uma espessura uniforme de 3/4 a 1 polegada. Tempere ambos os lados com tempero Cajun. Coloque o frango em sacos a vácuo e feche usando um selador a vácuo.

Mergulhe os sacos na água pré-aquecida, certificando-se de que estejam totalmente submersos; ajuste o temporizador para 1 hora. Quando o temporizador apitar, retire o frango da água e imediatamente coloque-o em um banho de gelo por 5 minutos. Remova o frango dos sacos e seque completamente com toalhas de papel.

Aqueça a manteiga e o óleo de abacate em uma frigideira grande em fogo alto até começar a soltar fumaça. Doure o frango na mistura quente de manteiga e óleo por 30 a 45 segundos de cada lado, movendo o frango na frigideira para dourar todos os lados uniformemente. Transfira para um prato e cubra com papel alumínio para manter aquecido.

Faça o molho: Derreta a manteiga na mesma frigideira em fogo médio. Adicione o alho e refogue na manteiga quente até perfumar, 15 a 30 segundos.

Bata o caldo de galinha e leve para ferver em fogo baixo. Cozinhe até reduzir ligeiramente, 3 a 4 minutos.

Bata o creme de leite e a pimenta-do-reino; leve ao fogo baixo. Cozinhe, mexendo continuamente, até engrossar.

Incorpore o queijo parmesão, 1 colher de sopa de cada vez, até derreter e misturar. Polvilhe o tomilho. Prove o molho e ajuste o sal, se necessário.