Seque os bifes com toalhas de papel e tempere ambos os lados com sal e pimenta.

Aqueça 1 colher de sopa de azeite e 1 colher de sopa de manteiga em uma frigideira grande antiaderente em fogo médio-alto. Quando a manteiga estiver chiando, adicione os bifes e doure dos dois lados, 4 a 5 minutos por lado. Remova os bifes da frigideira e mantenha aquecidos.

Na mesma frigideira, adicione o azeite e a manteiga restantes. Quando a manteiga estiver derretida, adicione as cebolas, cogumelos e 1/2 colher de chá de sal, e cozinhe, mexendo, até que as cebolas comecem a ficar translúcidas e os cogumelos estejam macios, 4 a 5 minutos.

Adicione o alho picado e cozinhe até perfumar, cerca de 30 segundos. Adicione o caldo de frango, vinho e tomilho seco, e leve para ferver.

Retorne os bifes e quaisquer sucos acumulados à frigideira, colocando-os entre os legumes e o caldo. Retire cerca de 1/4 de xícara do caldo para uso posterior. Cubra, reduza o fogo para baixo, e cozinhe até que um termômetro instantâneo inserido próximo ao centro marque 145 graus F (63 graus C), 4 a 5 minutos.

Misture o amido de milho no líquido de cozimento reservado, e mexa até que não haja grumos. Enquanto mexe o molho na frigideira, adicione a mistura de amido de milho, e continue mexendo por 3 a 4 minutos, ou até que o molho engrosse.