Misture o ketchup, a maionese, o relish de picles, o vinagre, o açúcar branco e o alho em uma tigela pequena. Tempere com sal e pimenta-do-reino a gosto. Cubra e reserve.

Divida a carne moída em 4 partes iguais. Enrole cada parte em uma bola; leve à geladeira até ser necessário. Espalhe manteiga nas laterais cortadas de cada pão de hambúrguer.

Aqueça uma frigideira grande de ferro fundido ou antiaderente em fogo médio-alto. (Você pode adicionar um pouco de óleo vegetal se estiver preocupado com grudar.)

Adicione duas bolas de hambúrguer à frigideira. Esmague a carne até ficar plana usando o fundo de uma panela pequena ou uma espátula. Mantenha no lugar até dourar, cerca de 1 minuto. Tempere com sal e pimenta. Cozinhe até que uma boa crosta se forme, depois vire.

Uma vez que o lado virado estiver quase pronto, cubra com uma fatia de queijo. Mova os hambúrgueres para o lado e coloque os pães, com o lado da manteiga para baixo, na frigideira até dourarem. Continue cozinhando os hambúrgueres até que o queijo derreta e a carne não esteja mais rosa no centro, cerca de 5 minutos. Um termômetro instantâneo inserido no centro deve marcar pelo menos 70°C.