Encha uma panela grande com água levemente salgada e leve para ferver em fogo alto. Misture a massa e volte para ferver. Cozinhe a massa descoberta, mexendo ocasionalmente, até ficar macia, mas firme ao morder, cerca de 10 minutos ou de acordo com as instruções da embalagem.

Enquanto isso, adicione a manteiga e o óleo em uma frigideira funda em fogo alto. Adicione as cebolas e cozinhe, mexendo ocasionalmente, até que elas ganhem um pouco de cor. Adicione o açúcar, sal, pimenta, vinagre e água, e continue cozinhando em fogo alto, mexendo constantemente, até que as cebolas estejam muito macias e de cor marrom escuro, cerca de 15 minutos.

Diminua o fogo para baixo; adicione o leite, alho, tomilho e queijo parmesão ralado. Bata o molho até ficar homogêneo com um liquidificador de imersão.