Misture a maionese, o ketchup, o relish, o açúcar e o vinagre em uma tigela pequena para fazer o molho.

Aqueça a manteiga e 1 colher de sopa de óleo em uma frigideira antiaderente em fogo médio. Adicione as cebolas e tempere com 1/4 de colher de chá de sal. Cozinhe, mexendo ocasionalmente, até que as cebolas estejam macias e douradas, cerca de 20 minutos.

Adicione 1 colher de sopa de água conforme necessário para caramelizar completamente as cebolas, cozinhando por mais 10-15 minutos. Retire do fogo quando as cebolas estiverem macias, douradas e com consistência de geleia.

Modele a carne moída em 8 hambúrgueres finos, com cerca de 3/8 de polegada de espessura e 4 polegadas de diâmetro. Tempere com pimenta e o sal restante.

Aqueça 1 colher de chá de óleo em uma frigideira de ferro fundido em fogo médio-alto. Adicione os hambúrgueres à frigideira em lotes, se necessário. Espalhe 2 colheres de chá de mostarda sobre cada hambúrguer. Cozinhe por 2 minutos de cada lado, até dourar.

Coloque queijo e cebolas caramelizadas sobre cada hambúrguer. Cubra a frigideira e cozinhe por 30 segundos ou até que o queijo derreta.