Aqueça o óleo em uma frigideira em fogo médio. Cozinhe as coxas de pato no óleo quente, com a pele para baixo, até dourar e a gordura derreter, cerca de 10 minutos. Vire e cozinhe até que o outro lado esteja dourado, de 3 a 4 minutos. Transfira para um prato, deixando a gordura na frigideira.

Incorpore 1 xícara de farinha à gordura na frigideira, adicionando óleo suficiente para fazer um roux grosso e liso. Reduza o fogo para médio-baixo e cozinhe, mexendo sempre, até que o roux fique com uma cor marrom-avermelhada rica, cerca de 40 minutos. Adicione mais 2 colheres de sopa de farinha e cozinhe por 2 minutos.

Incorpore o caldo, 1 xícara de cada vez, até que esteja incorporado. Retire do fogo.

Cozinhe a linguiça em um grande forno holandês em fogo médio até dourar, cerca de 8 minutos. Misture a cebola, os pimentões, o aipo e as cebolinhas verdes; cozinhe e mexa até que a cebola fique translúcida, cerca de 10 minutos. Misture a pimenta-do-reino, o tomilho, a pimenta-caiena e a folha de louro, seguidos pelos tomates picados até combinarem.

Coloque o pernil no centro do forno holandês. Despeje a mistura de roux sobre o pernil junto com água suficiente para cobrir. Coloque as coxas de pato na mistura. Leve para ferver, depois reduza o fogo para baixo. Cubra com uma tampa posicionada em um ângulo para deixar o vapor sair. Deixe cozinhar lentamente, mexendo ocasionalmente, até que a carne do pato e do pernil estejam macias, cerca de 4 horas. Retire o máximo de gordura possível enquanto cozinha.

Transfira as coxas de pato e o pernil para uma tigela grande e deixe esfriar. Misture o quiabo em conserva no gumbo. Separe a carne das coxas de pato e do pernil e devolva-a ao gumbo. Cozinhe o gumbo por mais 45 minutos.