Para a salmoura, escorra o suco da beterraba em uma panela pequena; reserve as fatias de beterraba. Adicione o vinagre de 1/2 xícara, açúcar, sal e pimenta-do-reino, e leve para ferver em fogo médio, mexendo até que o açúcar se dissolva, 3 a 5 minutos. Deixe esfriar completamente, cerca de 20 minutos.

Coloque os ovos em um pote ou tigela de vidro grande o suficiente para que a salmoura cubra completamente os ovos; despeje a salmoura. Complete com vinagre conforme necessário para cobrir os ovos completamente. Refrigere, coberto, por pelo menos 12 horas e até 24 horas. Quanto mais tempo os ovos estiverem na salmoura, mais rosa eles ficarão.

Corte os ovos ao meio no sentido longitudinal com uma faca afiada. Remova as gemas e coloque-as em uma tigela. Amasse as gemas com um garfo até ficarem lisas e misture com a maionese, a mostarda, a colher de chá de vinagre e o molho picante; tempere com sal e pimenta. Como opção, se você tiver um processador de alimentos pequeno, coloque todos os ingredientes do recheio nele e bata até ficar homogêneo.