Preriscalda il forno a 375°F (175°C).

Metti le patate in una pentola grande e copri con acqua salata; porta ad ebollizione. Riduci il fuoco a medio-basso e fai sobbollire fino a quando non sono tenere, circa 20 minuti. Scola e schiaccia; metti da parte.

Mentre le patate cuociono, cuoci al vapore o lessa le carote e le verdure miste fino a quando non sono quasi tenere. Scola e metti da parte.

Fai sciogliere il burro in una piccola pentola a fuoco medio. Cuoci e mescola l'aglio in polvere, il basilico e il prezzemolo nel burro caldo per circa 20 secondi. Mescola insieme alle patate schiacciate nella pentola; condisci con sale e pepe. Incorpora gradualmente il latte fino a quando le patate non diventano leggere e spumose; aggiungi più latte per raggiungere la consistenza desiderata. Metti da parte.

Scalda l'olio in una pentola media a fuoco medio-alto. Cuoci e mescola la cipolla nell'olio caldo fino a quando non è tenera ma non dorata. Aggiungi i fagioli rossi, i pomodori, la salsa di pomodoro, la salsa di soia, lo zucchero e il mix di carote-verdure. Cuoci fino a quando non è ben caldo e frizzante.

Trasferisci il composto in una teglia da forno 8x8 pollici. Distribuisci le patate schiacciate a mucchietti sopra. Cospargi con formaggio e paprika.