Mescolare il burro, l'aneto, la scorza di limone, il pepe di Cayenna, il sale e il pepe nero in una ciotola fino a ottenere un composto omogeneo. Mettere da parte.

Riempire una grande padella con 2-3 pollici di acqua e portare a ebollizione a fuoco alto. Abbassare il fuoco a medio-basso, versare l'aceto e un pizzico di sale. Rompere un uovo in una ciotola, quindi farlo scivolare delicatamente nell'acqua. Ripetere con le uova rimanenti. Cuocere le uova fino a quando gli albumi non sono sodi e i tuorli si sono addensati ma non duri, da 4 a 6 minuti. Rimuovere le uova dall'acqua con una schiumarola, tamponarle su un tovagliolo da cucina per eliminare l'acqua in eccesso, quindi trasferirle su un piatto caldo.