Tagliare le foglie dalle barbabietole. Rimuovere i gambi e scartarli. Lavare ed asciugare le foglie, quindi tritarle. Mettere da parte.

Scrubare le barbabietole e metterle in una pentola. Coprire con acqua e portare ad ebollizione. Ridurre il fuoco e cuocere, coperto, fino a quando le barbabietole possono essere facilmente forate con un coltello, da 30 a 40 minuti. Scolare e risciacquare sotto l'acqua fredda fino a quando non sono abbastanza fredde per essere maneggiate. Pelarle immediatamente e grattugiarle grossolanamente. Mettere da parte.

Scaldare l'olio d'oliva in una pentola larga su fuoco basso. Aggiungere la cipolla e cuocere lentamente fino a quando diventa morbida e traslucida, mescolando spesso, da 3 a 5 minuti. Aggiungere l'aglio e cuocere fino a quando non diventa profumato senza bruciarsi, circa 1 minuto.

Aggiungere le carote, la rapa e la pastinaca e cuocere a fuoco medio fino a quando le verdure iniziano ad ammorbidirsi, da 12 a 15 minuti. Cospargere con lo zucchero di canna e continuare a cuocere fino a quando le verdure iniziano a dorarsi in alcuni punti, da 3 a 5 minuti. Aggiungere 2 litri d'acqua, cavolo, sale e foglia di alloro; mescolare bene.

Portare ad ebollizione, ridurre il fuoco e lasciare sobbollire fino a quando le verdure sono morbide, da 10 a 15 minuti. Incorporare le foglie di barbabietola negli ultimi 2 minuti. Lasciare la pentola scoperta in modo che le foglie mantengano il loro colore.

Mescolare le barbabietole grattugiate e rimuovere il borscht dal fuoco immediatamente per fermare il processo di cottura; questo preserverà il suo colore brillante. Condire con aceto, sale e pepe.