Scalda il burro in una pentola capiente a fuoco medio. Cuoci e mescola cipolla, sedano, carota e aglio nel burro caldo fino a quando la cipolla non diventa traslucida.

Aggiungi le patate, il brodo di pollo, il prezzemolo, il timo e il pepe di Cayenna; porta a ebollizione. Copri, abbassa il fuoco e lascia sobbollire finché le patate non sono tenere, circa 15 minuti.

Mescola insieme farina e uovo in una ciotola usando una forchetta fino a ottenere un composto simile a chicchi di riso.

Mescola il latte e il prosciutto nella pentola; porta a ebollizione. Versa lentamente il composto di farina e uovo nella zuppa, mescolando continuamente per evitare grumi.

Lascia sobbollire per 10 minuti, mescolando occasionalmente.

Incorpora i broccoli e il formaggio Cheddar; cuoci fino a quando i broccoli non sono teneri e il formaggio si è sciolto, circa 5 minuti.