Preriscalda il forno a 350 gradi F (175 gradi C).

Mescola la miscela di margarita, il succo di limone, il succo di lime e la polvere d'aglio insieme in una ciotola grande.

Scalda l'olio vegetale in una padella grande a fuoco medio. Cuoci e mescola il pollo nell'olio caldo fino a quando non è più rosa al centro e i succhi risultano chiari, da 5 a 7 minuti. Elimina l'olio in eccesso dal pollo.

Versa la miscela di margarita nella padella con il pollo; fai sobbollire fino a quando la maggior parte della miscela di margarita non si è evaporata, da 15 a 20 minuti. Trasferisci e scola il pollo su un piatto foderato con carta assorbente.

Stratifica 4 tortillas con pollo, formaggio cheddar e formaggio Monterey Jack; copri con le restanti 4 tortillas. Disponi le quesadillas preparate, una o due alla volta, su una teglia grande.