Mescolate cavolo, carota, cipolla verde, sale, pepe e peperoncino con le mani in una ciotola fino a renderli morbidi, circa 30 secondi. Incorporate le uova con una forchetta fino a quando non saranno ben amalgamate.

Fate sciogliere 2 cucchiai di burro in una padella antiaderente a fuoco medio. Aggiungete le fette di pane e giratele un paio di volte per assicurarvi che entrambi i lati siano ricoperti di burro. Grigliate il pane fino a ottenere una bella doratura, croccante su entrambi i lati. Trasferite su un piatto.

Fate sciogliere il restante cucchiaio di burro nella stessa padella a fuoco medio. Aggiungete il composto di cavolo; cuocete e mescolate contemporaneamente utilizzando il bordo di una spatola per tritare la superficie mentre sollevate i bordi. Formate il composto in un rettangolo e dividetelo in due hamburger quadrati; cuocete fino a doratura, circa 1,5-2 minuti per lato.

Impilate gli hamburger uno sopra l'altro su una fetta di pane tostato e cospargete con lo zucchero.

Mettete le fette di prosciutto nella padella calda; cuocete a fuoco medio fino a quando non iniziano a sfrigolare, circa 1-2 minuti. Giratele e aggiungete la fetta di formaggio Cheddar; cuocete fino a quando il formaggio si sarà sciolto.