Mescolate ketchup, maionese, relish ai cetriolini, aceto, zucchero bianco e aglio in una piccola ciotola. Aggiustate di sale e pepe a piacere. Coprite e mettete da parte.

Dividete la carne macinata in 4 parti uguali. Arrotolate ogni pezzo in una palla; conservate in frigorifero fino al momento dell'uso. Spalmate i lati tagliati di ogni panino con burro.

Scaldate una grande padella di ghisa o antiaderente a fuoco medio-alto. (Potete aggiungere un po' di olio vegetale se siete preoccupati per l'attaccamento.)

Aggiungete due palline di hamburger nella padella. Schiacciate la carne piatta usando il fondo di una piccola pentola o una spatola. Tenete premuto fino a quando non si forma la crosta, circa 1 minuto. Condite con sale e pepe. Cuocete fino a quando non si forma una buona crosta, poi girate.

Una volta che il lato girato sembra quasi cotto, coprite con una fetta di formaggio. Spostate le polpette da un lato e posizionate i panini, con il lato imburrato verso il basso, nella padella fino a doratura. Continuate a cuocere gli hamburger fino a quando il formaggio si sarà sciolto e la carne non sarà più rosa al centro, circa 5 minuti. Un termometro istantaneo inserito al centro dovrebbe leggere almeno 70°C.